Ključne riječi: spektar, nelinearni operator, bijekcija


Dobro je poznata važnost spektralne teorije za linearne operatore. Podsjetimo se nekih najznačajnijih osobina spektra linearnih operatora. Neka je $X$ Banachov prostor nad poljem $\mathbb{K}$ realnih ili kompleksnih brojeva.


Za svako $\lambda \in \mathbb{K}\setminus \sigma (L)$ postoji rezolventni operator $(\lambda I- L)^{-1}$ koji je ograničen.


U slučaju da $dim X\lt \infty$ onda je $\sigma(L)=\sigma_{p}(L)$. Primijetimo da $\lambda_{0}\in \sigma_{c}(L)$ povlači da operator $(\lambda_{0} I-L)$ ima inverzni operator $(\lambda_{0} I- L)^{-1}$ ali da taj nije ograničen. Situacija $\lambda_{0}\in \sigma_{r}(L)$ znači da rezolventni operator postoji, ali njegovo područje definicije nije gusto u $X$; u tom slučaju rezolventni operator može biti ograničen ili neograničen.

Slobodno govoreći, elementi $\lambda$ u subspektru $\sigma_{p}(L)$ karakteriziraju neki gubitak injektivnosti, oni iz $\sigma_{r}(L)$ neki gubitak surjektivnosti, a oni iz $\sigma_{c}(L)$ neki gubitak stabilnosti operatora $\lambda I-L$.

Ovi dijelovi spektra formiraju disjunktnu podjelu spektra $$\sigma (L)=\sigma_{p}(L)\cup \sigma_{c}(L)\cup \sigma_{r}(L).$$ Vrijedi i sljedeći teorem koji daje tzv. formulu spektralnog preslikavanja polinoma.


Spektar linearnog operatora $\sigma (L)$ ima sljedeće važne osobine:

$\bullet$	zatvoren je i ograničen skup (dakle kompaktan)
$\bullet$	neprazan je skup kad je $\mathbb{K}$ polje kompleksnih brojeva
$\bullet$	vrijedi formula spektralnog preslikavanja (2).

Kod definiranja spektra nelinearnih operatora, cilj je, po mogućnosti:

$\bullet$	u slučaju linearnog operatora da se svodi na poznati spektar (1),
$\bullet$	da ima bar neke zajedničke osobine s linearnim spektrom (npr. zatvorenost, kompaktnost),
$\bullet$	da sadrži svojstvene vrijednosti operatora.

S obzirom na definiciju (1) predstavljalo bi izazov definirati spektar neprekidnog linearnog operatora $F$ jednostavno s Ovo ćemo nazivati preslikavajući spektar operatora $F$. Preciznije mogli bismo proučavati spektar injektivnosti i spektar surjektivnosti pri čemu je $\Sigma(F)=\Sigma_{i}(F)\cup \Sigma_{s}(F)$. Međutim, u nelinearnom slučaju se pokazuje da ovaj pristup nije od neke koristi. Zapravo, ove jednostavne definicje imaju smisla samo u linearnom slučaju, jer tada imamo veoma rigidnu strukturu linearnosti, a također i tako moćno oruđe kao teorem o zatvorenm grafu koji garantira ograničenost inverza ograničenog operatora.

Pokazat ćemo primjerima da preslikavajući spektar (3) ne mora imati ni jednu od poznatih osobina linearnog spektra.

Primjer 2.1 Neka je operator $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s $$F(x)=\sqrt{|x|}.$$ Odredimo spektre injektivnosti i surjektivnosti, odnosno preslikavajući spektar operatora $F$. Označimo $G(x)=(\lambda I-F)(x)=\lambda x-\sqrt{|x|}$.
a) Ispitajmo kad je ovo preslikavanje injektivno.
Za $\lambda =0$ je $G(x)=-\sqrt{|x|}$, a to nije injekcija (jer za $x\neq 0$ vrijedi $G(x)=G(-x)$). Prema tome, $0 \in \Sigma_{i}(F).$

Neka je sada $\lambda \neq 0$ i promatrajmo jednakosti $$G(x_{1})= \lambda x_{1}-\sqrt{|x_{1}|}=\lambda x_{2}-\sqrt{|x_{2}|}=G(x_{2})$$ $$\lambda (x_{1}-x_{2})=\sqrt{|x_{1}|}-\sqrt{|x_{2}|}.$$ U slučaju da su $x_{1}$ i $x_{2}$ pozitivni i $x_{1}\neq x_{2}$, vrijedi $$\lambda (\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}$$ $$\lambda (\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=1 \Rightarrow \sqrt{x_{2}}=\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}}.$$ Iz uvjeta $\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}}\gt 0$ dobivamo $\lambda \gt 0$ i $x_{1} \in (0,\frac{1}{\lambda^{2}}).$
U slučaju da su $x_{1}$ i $x_{2}$ negativni i $x_{1}\neq x_{2}$, vrijedi $$\lambda (-\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})(\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})=\sqrt{|x_{1}|}-\sqrt{|x_{2}|}$$ $$\lambda (\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})=-1 \Rightarrow \sqrt{|x_{2}|}=-\frac{1}{\lambda}-\sqrt{|x_{1}|}.$$ Rješavanjem nejednakosti $-\frac{1}{\lambda}-\sqrt{|x_{1}|}\gt 0$ dobivamo $\lambda \lt 0$ i $x_{1} \in (-\frac{1}{\lambda^{2}},0).$ Ovim smo pokazali da za proizvoljno $\lambda \gt 0$, ako uzmemo $x_{1} \in (0,\frac{1}{\lambda^{2}})$ i
$x_{2}=(\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}})^{2}$, onda dobivamo $G(x_{1})=G(x_{2})$. To znači da za $\lambda \in (0,\infty)$ preslikavanje $G$ nije injektivno, odnosno $(0,\infty)\subseteq \Sigma_{i}(F).$ S druge strane, za proizvoljno $\lambda \lt 0$, ako uzmemo $x_{1} \in (-\frac{1}{\lambda^{2}},0)$ i $x_{2}=-(\frac{1}{\lambda}+\sqrt{|x_{1}|})^{2}$, onda opet dobivamo $G(x_{1})=G(x_{2})$. Dakle, $(-\infty,0)\subseteq \Sigma_{i}(F).$ Sveukupno, našli smo spektar injektivnosti $$\Sigma_{i}(F)=(-\infty,0)\cup \lbrace 0\rbrace \cup (0,\infty)=\mathbb{R}$$

b) Ispitajmo kad je $G$ surjektivno preslikavanje.
Za $\lambda =0$ je $G(x)=-\sqrt{|x|}$, a ovo nije surjekcija jer je $G(\mathbb{R})=(-\infty,0].$ Prema tome, $0\in \Sigma_{s}(F).$ Neka je sad $\lambda \neq 0$ i $y \in \mathbb{R}$ proizvoljno. Ispitajmo rješenja jednadžbe $$\lambda x-\sqrt{|x|}=y.$$ Nalazimo: za $\lambda \gt 0$ je $$x=\begin{cases} \frac{1+2\lambda y + \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [-\frac{1}{4\lambda},\infty) \\ \frac{1+2\lambda y - \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [-\frac{1}{4\lambda},0] \\ \frac{-1+2\lambda y+ \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in (-\infty,0] \\ \end{cases},$$ a za $\lambda \lt 0$ je $$x= \begin{cases} \frac{1+2\lambda y - \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in (-\infty,0] \\ \frac{-1+2\lambda y + \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [\frac{1}{4\lambda},0] \\ \frac{-1+2\lambda y - \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [\frac{1}{4\lambda}, \infty) \\ \end{cases}.$$ Tako da za $\lambda \neq 0$ i proizvoljno $y$, postoji $x \in \mathbb{R}$ takav da je $G(x)=y$; odnosno $G$ je surjekcija. Ostaje samo $\Sigma_{s}(F)=\lbrace 0\rbrace .$ Preslikavajući spektar je $$\Sigma (F)=\Sigma_{i}(F)\cup \Sigma_{s}(F)=\mathbb{R},$$ pa vidimo da nije ograničen skup.
Primjer 2.2 Neka je $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s U slučaju da je $\lambda =0$, promatrajmo preslikavanje $$G(x)=-F(x)=\begin{cases} -x & \text{ ako je } |x|\gt 1,\\ -x^{2} & \text{ ako je } 0\leq x\leq 1,\\ x^{2} & \text{ ako je } -1\leq x\leq 0 \end{cases}$$ i pokažimo da je u pitanju bijekcija (vidi sliku 3).

Za $y\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty),\quad \exists x=-y,$ tako da $G(x)=y$. Za $y\in [-1,0],\quad \exists x=\sqrt{-y},$ tako da $G(x)=y$. I za $y\in [0,1], \exists x=-\sqrt{y},\quad G(x)=y$. Dakle, $G(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, pa je $G$ surjekcija i $0\notin \Sigma_{s}(F)$. Jasno je i da je injekcija jer iz svake jednadžbe $G(x_{1})=G(x_{2})$ slijedi da je $x_{1}=x_{2}$. Injektivnost se može dokazati i činjenicom da je $G$ neprekidna i stalno opadajuća funkcija od $+\infty$ do $-\infty$ na čitavoj realnoj osi. Dakle, $0\notin \Sigma_{i}(F)$. Kad je $\lambda =1$ imamo: $$G(x)=\begin{cases} 0 & \text{ ako je } |x|\gt 1,\\ x-x^{2} & \text{ ako je } 0\leq x\leq 1,\\ x+x^{2} & \text{ ako je } -1\leq x\leq 0. \end{cases}$$ $G_{max}=G(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$, a $G_{min}=G(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ (vidi sliku 4).

Budući da je $G$ neprekidna funkcija, vrijedi $G(\mathbb{R})=[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$, pa nije surjekcija i $1\in \Sigma_{s}(F)$. Jasno je da $G$ nije ni injekcija jer npr. $G(2)=G(3)=0$. Prema tome, $1\in \Sigma_{i}(F)$. Neka je $\lambda \in (0,1)$ (vidi sliku 5). Tada

Budući da je $G$ neprekidna funkcija na $\mathbb{R}$ i dostiže lokalni minimum za $x=-\frac{\lambda}{2}$, a lokalni maksimum za $x=\frac{\lambda}{2}$, slijedi da nije injekcija. Tako npr. za $x_{1}\in (0,\frac{\lambda}{2})$ i $x_{2}\in (\frac{\lambda}{2}, 1)$, iz jednadžbe $G(x_{1})=G(x_{2})$ dobivamo $x_{2}=\lambda -x_{1}$. Ovim smo pokazali $(0,1)\subseteq \Sigma_{i}(F)$.

Jasno je da je $G$ surjekcija jer je neprekidna funkcija i $$\lim_{x \to -\infty} G(x)= + \infty,\quad \lim_{x \to +\infty} G(x)= - \infty.$$ U slučaju $\lambda \in (1,2)$ je


tako da opet nemamo injekciju, pa $(1,2)\subseteq \Sigma_{i}(F)$. Sada je $$\lim_{x \to -\infty} G(x)= - \infty,\quad \lim_{x \to +\infty} G(x)= +\infty$$ pa $G$ jest surjekcija. Iz (7) slijedi: za $\lambda \geq 2$ je $G^{\prime}(x)\gt 0$, te $G$ stalno raste od $-\infty$ do $+\infty$; a za $\lambda \lt 0$ je $G^{\prime}(x)\lt 0$, pa $G$ stalno opada od $+\infty$ do $-\infty$ na čitavoj realnoj osi. Ovo znači, zbog neprekidnosti, da je za ovakve $\lambda$ preslikavanje $G$ bijekcija. Našli smo, konačno, spektre: $$\Sigma_{i}(F)=\Sigma (F)=(0,2), \qquad \Sigma_{s}(F)=\lbrace 1\rbrace .$$ Dakle, $\Sigma (F)$ nije zatvoren skup.


Jedna od najvažnijih osobina linearnog spektra je ta da je on uvijek neprazan u slučaju kad je $\mathbb{K}$ polje kompleksnih brojeva. Međutim, pokazuje se da ovo više ne vrijedi kad je riječ o nelinearnom operatoru.

Primjer 2.3 Neka je operator $F:\mathbb{C}^{2}\rightarrow \mathbb{C}^{2}$ definiran s Tada je preslikavanje $(\lambda I-F)(z,w)=(\lambda w-i\overline{z})$, za svako $\lambda \in \mathbb{C}$, bijekcija na $\mathbb{C}^{2}$ s inverzom $$(\lambda I-F)^{-1} (\zeta,\omega)= \left( \frac{\overline{\lambda}\zeta + \overline{\omega}}{i + |\lambda |^{2}}, -\frac{\overline{\lambda}\omega + i \overline{\zeta}}{i - |\lambda |^{2}} \right).$$ Slijedi da je: $$\Sigma_{i}(F)= \Sigma_{s}(F)=\Sigma(F)=\emptyset.$$ Prema tome preslikavajući spektar ovog nelinearnog operatora (9) je prazan skup.
Primjer 2.4 Neka je operator $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s Nije teško pokazati da je spektar $\Sigma (F)=[0,1]$. Za polinom $p(z)=z^{2}$ vrijedi $p(\Sigma (F))=[0,1]$. S druge strane, iz činjenice da je $F^{2} (x)\equiv 0$ slijedi da je $\Sigma (p(F))=\Sigma (F^{2})=\lbrace 0\rbrace$. Ovaj primjer pokazuje da ne vrijedi formula spektralnog preslikavanja (2).

Spektar injektivnosti (4) tijesno je povezan s točkovnim spektrom $$\sigma_{p} (F):=\lbrace \lambda \in \mathbb{K}: F(x)= \lambda x \text{ za neko } x\neq 0\rbrace .$$ Kao i u linearnom slučaju, elemente $\lambda \in \sigma_{p} (F)$ nazivat ćemo svojstvenim vrijednostima operatora $F$. U slučaju da je $F(0)=0$, vrijedi inkluzija $$\sigma_{p} (F)\subseteq \Sigma_{i} (F)$$ koja može biti i stroga. U Primjeru 2.1 imamo da je $\sigma_{p} (F)=\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace \subset \mathbb{R}= \Sigma_{i}(F)$. Naravno, za linearne operatore $L$ uvijek vrijedi da je $\sigma_{p} (L)=\sigma_{i} (L)$, po definiciji.

Pogledajmo sad spektar surjektivnosti (5). Za $z\in X$ definiramo translaciju $F_{z}$ operatora $F$ s Sljedeći rezultat daje nam vezu između spektra surjektivnosti $\Sigma_{s}(F)$ i točkovnog spektra $\sigma_{p}(F_{z})$ svih translacija (10).




Za $F(x)=\sqrt{|x|}$ iz Primjera 2.1, translatirana funkcija je $F_{z}(x)=\sqrt{|x|}+z$. Budući da je za svako $z\in \mathbb{R}$ točkovni spektar $\sigma_{p}(F_{z})=\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace$, na osnovi (11) slijedi da je $\Sigma_{s}(F)=\lbrace 0\rbrace$.

Primjer 2.5 U prostoru neprekidnih funkcija $C[0,1]$ dan je Hammersteinov integralni operator $$H(x)(s)=s^{\beta +1} \int_{0}^{1}t^{\beta} \sin x(t)dt \qquad (0\leq s\leq 1, \beta \geq 0).$$ Operator $H$ je kompozicija $H=KF$, nelinearnog operatora $F$ definiranog s $$F(x)(t)=\sin x(t)$$ i linearnog Fredholmova integralnog operatora $$Ky(s)=\int_{0}^{1} s^{\beta +1}t^{\beta}y(t)dt.$$ Odredimo točkovni spektar $\sigma_{p}(H)$. Operator $H$ je kompaktan. Za neprekidnu funkciju $x_{n}(t)\equiv n\pi\equiv 0$, pa $H(x_{n})=0=0x_{n}$. To znači da $0 \in \sigma_{p}(H)$. Razmotrimo sad jednadžbu $H(x)=\lambda x$, za $\lambda \neq 0$. Imamo $$H(x)(s)=s^{\beta +1} \int_{0}^{1}t^{\beta} \sin x(t)dt=\lambda x(s)$$ $$x(s)=cs^{\beta +1} \text{ za neko } c\neq 0.$$ Vrijedi i obrnuto, svaka funkcija $x(t)=ct^{\beta +1}$, $c \neq 0$ je svojstvena funkcija operatora $H$ koja odgovara svojstvenoj vrijednosti $\lambda =\psi(c).$ Prema tome, $$\sigma_{p}(H)=\lbrace \psi(c):c \in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace \rbrace .$$ Uvedimo u (12) zamjenu varijabli $ct^{\beta +1}=\tau$$dt=\frac{1}{\beta +1} c^{-\frac{1}{\beta +1}} \tau ^{-\frac{\beta}{\beta +1}}d\tau$, pa dobivamo $$\lambda =\psi (c)=\frac{1}{(\beta +1) c^{2}}\int_{0}^{c} \sin \tau d\tau =\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}} \quad (c\neq 0).$$ Sada je $$\lim_{c \rightarrow 0} \psi (c)=\lim_{c \rightarrow 0}\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}}= \lim_{c \rightarrow 0}\quad \frac{\sin c}{2(\beta +1) c}=\frac{1}{2(\beta +1)}.$$ Možemo dodefinirati funkciju $\psi$ u točki $0$ tako da bude neprekidna na $\mathbb{R}$: $$\widetilde{\psi}(c)= \begin{cases} \frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}} & c\neq 0, \\ \frac{1}{2(\beta +1)} & c =0. \end{cases}$$ Budući da je funkcija $\widetilde{\psi}$ neprekidna, vrijedi $$0\leq \widetilde{\psi}(c) \leq \frac{1}{2(\beta +1)}, \quad (-\infty \lt c\lt \infty),$$ pri čemu se dostižu sve vrijednosti između lijeve i desne granice. Lijeva strana nejednakosti dostiže se u točkama $c=2k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, tj. $\psi(2k\pi)= 0$. Desna strana nejednakosti ne dobiva se ni za jedno $c\neq 0$, jer iz $\psi (c)=\frac{1}{2(\beta +1)}$ slijedi $$\frac{1}{2(\beta +1)}=\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}}=\frac{2\sin^{2}(\frac{c}{2})}{(\beta +1) c^{2}}= \frac{1}{2(\beta +1)}\Big (\frac{\sin \frac{c}{2}}{\frac{c}{2}}\Big )^{2},$$ $$\sin \frac{c}{2}=\frac{c}{2}\Rightarrow c = 0.$$ Prema tome $\sigma_{p} (H)=\Big [0,\frac{1}{2(\beta +1)}\Big )$.


Ovim primjerima pokazali smo da nam treba drugačiji pristup pri definiranju spektra nelinearnih operatora. Za nelinearni neprekidni operator $F$ i neku klasu neprekidnih operatora $\mathcal{M}(X)$ koja sadržava $F$ možemo definirati rezolventni skup $$\rho (F)=\Big \lbrace \lambda \in \mathbb{K}: \lambda I-F \text{ je bijekcija i } (\lambda I-F)^{-1} \in \mathcal{M}(X)\Big \rbrace$$ i spektar $$\sigma (F)=\mathbb{K} \setminus \rho (F).$$ Ovisno o tome što uzmemo za klasu $\mathcal{M}(X)$ (npr. neprekidno diferencijabilni, Lipschitz neprekidni, stabilno rješivi ili epi operatori) dobivamo razne spektre. Nazive su dobivali po matematičarima koji su ih prvi uveli: Rhodius, Neuberger, Kachurovski, Feng, itd. Na ovaj način dobivaju se spektri koji imaju samo neke dobre osobine koje imaju spektri linearnog operatora. Nelinearne spektralne teorije i dalje su u razvoju, a opseg njihove primjene vrlo je širok.